Desigualdade isoperimétrica e as séries de fourier

Abstract

No presente trabalho, apresentamos uma desmonstração do teorema da desigualdade isoperimé- trica (ou problema isoperimétrico). Este teorema relaciona o comprimento L de uma curva plana simples e fechada C com a área A da região delimitada por C, a saber, ele afirma que a área A é sempre menor ou igual à L2=4π e, além disso, este valor é alcançado se, e somente se, C é um círculo de raio L=2π. A demonstração apresentada é devida ao matemático alemão Adolf Hurwitz e faz uso das famosas séries de Fourier, bem como do Teorema de Green e de alguns dos resultados fundamentais da Geometria Diferencial. Deste modo, introduzimos a teoria das séries de Fourier fazendo o estudo dos principais tópicos relacionados, tais como convergência, derivabilidade e integrabilidade das séries de Fourier. Além disso, apresentamos os conceitos da Geometria Diferencial que são necessários para a demonstração.