Superfícies mínimas e a representação de Weierstrass

Abstract

O presente trabalho trata de conceitos referentes a geometria diferencial e superf´ıcie m´ınima. Tais superf´ıcies possuem curvatura m´edia identicamente nula, elas s˜ao um dos principais objetos de estudo da geometria diferencial. As primeiras superf´ıcies m´ınimas, foram descobertas por Euler e Lagrange. Obter exemplos de tais superf´ıcies, era algo considerado dif´ıcil, at´e mesmo para os casos considerados mais simples, o caso do gr´afico de uma fun¸c˜ao. Ap´os mais de 100 anos da defini¸c˜ao de superf´ıcie m´ınima, foi que Weierstrass desenvolveu um m´etodo que descrevia todas as superf´ıcies m´ınimas, tal m´etodo ´e conhecido como representa¸c˜ao de Weierstrass, que ser´a o objeto final de estudo deste trabalho. Weierstrass, obteve uma rela¸c˜ao entre superf´ıcies m´ınimas e fun¸c˜oes holomorfas, isto ´e, ele obteve uma rela¸c˜ao entre tais superf´ıcies e an´alise complexa. Atrav´es de estudo bibliogr´afico, mostramos algumas propriedades de superf´ıcies regulares e m´ınimas, bem como os exemplos mais conhecidos de superf´ıcies m´ınimas como o plano, catenoide (´unica superf´ıcie m´ınima de revolu¸c˜ao n˜ao trivial), superf´ıcie de Scherk, superf´ıcie de Enneper, al´em de algumas aplica¸c˜oes das mesmas em nosso cotidiano.