Teorema de Hahn-Banach: forma analítica e formas geométricas

Abstract

Este trabalho tem como principal objetivo fazer um estudo abrangente sobre o Teorema de Hahn-Banach, tanto em sua Forma Anal ́ıtica quanto em suas Formas Geom ́etricas, que ́e um pilar fundamental da An ́alise Funcional, mas tamb ́em permeia diversas ́areas

matem ́aticas, tais como An ́alise Complexa, Teoria da Medida, Teoria do Controle e Te- oria dos Jogos. A relevˆancia desta pesquisa se sustenta no fato de que, apesar de sua

importˆancia, o Teorema de Hahn-Banach n ̃ao ́e comumente abordado nos cursos de licen- ciatura em matem ́atica. A Forma Anal ́ıtica fornece as condi ̧c ̃oes necess ́arias para estender

funcionais lineares definidos em subespa ̧cos de um espa ̧co normado para o espa ̧co todo.

Esta formaliza ̧c ̃ao ́e crucial em situa ̧c ̃oes em que o dom ́ınio inicial ́e apenas um subcon- junto de um espa ̧co vetorial maior. A capacidade de estender esses funcionais mantendo

propriedades espec ́ıficas ́e fundamental em diversas ́areas da matem ́atica, como An ́alise Funcional, Teoria da Medida e Equa ̧c ̃oes Diferenciais Parciais. As Formas Geom ́etricas garante que, em determinadas condi ̧c ̃oes, ́e poss ́ıvel separar, no sentido lato ou no sentido estrito, subconjuntos convexos, disjuntos e n ̃ao vazios de um espa ̧co normado por meio de um hiperplano, correspondendo `a Primeira Forma e `a Segunda Forma, respectivamente. Isso revela uma poderosa ferramenta geom ́etrica para entender as rela ̧c ̃oes espaciais em

espa ̧cos vetoriais normados. Ao final do trabalho, a complexidade e abrangˆencia do Teo- rema de Hahn-Banach se reafirmaram de maneira singular em cada uma de suas formas.