Formalismo do operador translação dependente da posição: forças de origem geométricas na mecânica quântica

Abstract

Neste trabalho, apresentamos inicialmente o formalismo matemático da mecânica quântica desenvolvida por Paul Dirac. Neste formalismo, usamos a notação de bras e de kets, no qual os estados quânticos de um sistema, podem agora ser representados por vetores de estado, que para este formalismo correspondem aos kets, que pertencem a um espaço vetorial complexo e abstrato, chamado de espaço dos estados. Nesta abordagem matemática, os kets são vetores de estado não nulos, que contêm todas as informações possíveis acerca do sistema. No formalismo de Dirac, os observáveis físicos são representados por operadores hermitianos, no qual os autovalores correspondem aos possíveis resultados da medida destes observáveis. No espaço euclidiano, uma translação infinitesimal espacial dx, leva a partícula do estado |xi para o estado |x+dxi, no entanto, ao estudarmos o formalismo do operador translação dependente da posição, notamos que uma translação espacial infinitesimal em um espaço não-euclidiano, não levaria necessariamente a partícula do estado |xi para o estado |x+dxi; tudo isso porque, mudou-se a métrica deste espaço. Diante disso, ao associarmos um peso ao espaço de Hilbert, devido justamente generalizarmos nosso espaço à espaços curvos, foi possível redefinir o operador identidade; também foi redefinido o operador translação e até mesmo a equação do tipo Schrödinger se apresentou de uma nova forma. Além disso, foi possível generalizar o Teorema de Ehrenfest, considerando a nova métrica do espaço; a partir disso, estudamos a equação de movimento de uma partícula num espaço deformado. Para isso, associamos uma expansão de Taylor a métrica espacial, derivamos as equações canônicas de Hamilton e verificamos que a equação semelhante à segunda lei de Newton, possuía termos extras com dimensão de força, que por sua vez, foram interpretadas como sendo forças de origem puramente geométricas, devido a métrica do espaço.