Sistema massa-mola e suas propriedades: um estudo analítico via álgebra linear

Abstract

Mediante as inúmeras aplicações do movimento harmônico simples, o presente trabalho tem a pretensão de avaliar, de forma individual, o sistema massa-mola, conceituando e caracterizando-o de forma explícita através da modelagem matemática que assume papel preponderante na exibição de suas equações. Para isso, recorremos ao uso das equações diferenciais, chegando a uma função que descreva este sistema. Utilizamos também conceitos oriundos da álgebra linear, como os conceitos de autovalor e autovetor. Dessa forma, modelamos e resolvemos o problema do oscilador harmônico simples, utilizando-se conceitos da álgebra abstrata e um pouco de cálculo avançado, de maneira que o leitor já traga consigo alguma familiaridade com os mesmos, para que possa aproveitar melhor a leitura. Apresentamos teoremas que garantem tanto a existência, quanto a unicidade das soluções dos sistemas de equações diferenciais usadas na modelagem. Além disso, mostramos os principais fatos sobre a estrutura das soluções de tais sistemas. Exibimos também as soluções de sistemas lineares de equações diferenciais homogêneas com coeficientes constantes, fazendo a generalização das soluções por exponenciais de matrizes. Apresentamos a solução e na sequência damos a classificação de tais soluções para alguns casos de acordo com o tipo de autovalor. Assim sendo, fizemos o estudo para o oscilador livre de amortecimento, para o oscilador amortecido e para o oscilador subamortecido, etc.