Formalismo do operador translação dependente da posição unidimensional

Abstract

Este trabalho tem como objetivo apresentar e discutir o formalismo do operador de translação dependente da posição (PDTO) em uma dimensão, uma abordagem alternativa à mecânica quântica tradicional que incorpora explicitamente a estrutura geométrica do espaço de posições. A introdução de uma métrica variável g(x) leva à redefinição dos operadores fundamentais, como o momento linear, e modifica a estrutura do espaço de Hilbert, resultando em modificações nas relações de incerteza. A equação de Schrödinger, nesse contexto, assume a forma de um problema de Sturm-Liouville com peso, preservando a hermiticidade dos operadores e a ortonormalidade dos autoestados. Como aplicação, estuda-se o comportamento de uma partícula confinada em um poço de potencial infinito, evidenciando as deformações nas funções de onda e nos espectros de energia induzidas pelo parâmetro de deformação γ. O formalismo demonstra consistência com a teoria quântica tradicional no limite γ → 0 e revela potencial para descrever sistemas com massa efetiva variável ou definidos em espaços com curvatura. As contribuições geométricas discutidas neste trabalho reforçam o papel da estrutura espacial na formulação da Mecânica Quântica e abrem perspectivas para estudos em contextos mais gerais.