Superfícies mínimas e o problema de Plateau

Abstract

Neste trabalho iremos estudar a teoria das superf´ıcies m´ınimas e as rela¸c˜oes existentes com as pel´ıculas de sab˜ao, que originou o problema de Plateau. Uma superf´ıcie ´e dita m´ınima se sua curvatura m´edia ´e identicamente nula. Lagrange, foi o primeiro a definir uma superf´ıcie m´ınima, obtendo uma equa¸c˜ao diferencial parcial que descrevia as superf´ıcies m´ınimas que s˜ao gr´aficos de fun¸c˜oes diferenci´aveis. Mesmo sendo de uma disciplina considerada b´asica, as superf´ıcies m´ınimas ainda est˜ao sendo investigadas, pois h´a liga¸c˜oes profundas com fun¸c˜oes anal´ıticas de vari´aveis complexas e com equa¸c˜oes diferenciais parciais. Os resultados dessa teoria, em geral, s˜ao de f´acil visualiza¸c˜ao e de dif´ıceis provas. As superf´ıcies m´ınimas s˜ao geralmente associadas `as pel´ıculas de sab˜ao, que podem ser obtidas mergulhando uma moldura formada por um arame em uma solu¸c˜ao de sab˜ao e retirando-a em seguida com cuidado. Tal superf´ıcie, em seus pontos regulares, tem a curvatura m´edia nula. A conex˜ao entre superf´ıcies m´ınimas e pel´ıculas de sab˜ao motivou o famoso Problema de Plateau, que, a grosso modo, pode ser descrito da seguinte maneira: provar que para cada curva fechada C existe uma superf´ıcie S de ´area m´ınima tendo C como fronteira. Nesse sentido, com o objetivo de compreender essa rela¸c˜ao entre superf´ıcies mínimas e pel´ıculas de saab˜ao, realizou-se alguns experimentos com pel´ıculas de sab˜ao, afim de obter representações de superf´ıcies m´ınimas. Os resultados dos experimentos foram explicados fisicamente.