A função de Weierstrass: Uma função contínua que não admite derivada em nenhum ponto do domínio

Abstract

O principal objetivo deste trabalho é mostrar um exemplo que prova a possibilidade de existência de uma função contínua em toda a reta, mas que não é derivável em lugar nenhum. Em 18 de julho de 1872, o matemático alemão Karl Weierstrass apresentou uma função com essa característica em uma palestra na Royal Academy of Science, em Berlim. A exibição dessa função causou uma grande surpresa a comunidade acadêmica da época, tanto pela sua importância como por ser um contra exemplo para a recíproca de um dos teoremas mais conhecidos do cálculo diferencial, a saber: se uma função é derivável em um ponto c real, então essa função é contínua em c, tratando-se também de ser a primeira função apresentada com essa característica. A função que Weierstrass construiu recebeu o seu nome em sua homenagem, sendo uma função limitada e contínua em toda a reta, mas não é derivável em nenhum ponto. Nos dias de hoje, é de conhecimento matemático que existam mais funções com essas características da função de Weierstrass, no entanto, visto que a construção dessas funções é um trabalho demorado e cuidadoso, não é fácil

de encontrar exemplos das mesmas. Apresentamos no trabalho também um estudo introdutório aos limites, continuidade e derivadas de funções; sequências e séries numéricas

e as sequências e séries de funções, que servirão de base para a construção da função de Weierstrass. Espera-se que o trabalho possa servir de fonte de pesquisa e motivação para estudantes de matemática ou áreas relacionadas, principalmente quando estiverem estudando o cálculo diferencial.