Funções complexas holomorfas e campos conformes no plano hiperbólico

Abstract

O presente trabalho tem como objetivo, apresentar uma maneira mais simples de se obter campos de vetores conformes (ou simplesmente, campos conformes) no plano hiperbólico, utilizando-se das funções complexas holomorfas. Para isso estudamos as referidas funções e a relação destas com os campos conformes no plano hiperbólico, utilizando a fórmula da derivada de Lie para mudança conforme de métrica para demonstrar que através das partes real e imaginária de uma função holomorfa, podemos construir exemplos de campos conformes no plano hiperbólico. Do mesmo modo, mostramos que a partir das funções componentes de um campo conforme no plano hiperbólico é possível obter uma função complexa holomorfa. Por fim, demonstramos alguns resultados, entre eles, que um campo é conforme no plano hiperbólico se, e somente se, o mesmo for conforme no semiplano superior do plano Euclidiano munido com a métrica canônica e que um campo homotético no plano hiperbólico será um campo de Killing.