Raízes de equações do terceiro grau

Abstract

Sabe-se que as ra´ızes de equa¸c˜oes polinomiais do terceiro grau (ou simplesmente equa¸c˜oes polinomiais c´ubicas) podem ser obtidas atrav´es das f´ormulas de Cardano-Tartaglia, publicada por Girolamo Cardano (1501-1576) em seu livro Ars Magna no ano de 1545, no entanto a f´ormula de Cardano-Tartaglia n˜ao ´e muito pr´atica e em alguns casos, nos deparamos com radicais de dif´ıcil simplifica¸c˜ao, o que nos for¸ca a usar as fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas. Diante disso, costuma-se recorrer aos m´etodos num´ericos iterativos dispon´ıveis na An´alise Num´erica (m´etodos da bissec¸c˜ao, da falsa posi¸c˜ao, do ponto fixo e de Newton-Raphson) para obter com mais facilidade as aproxima¸c˜oes decimais das ra´ızes que se pretende calcular. Por sua vez, os m´etodos num´ericos aplicados `as equa¸c˜oes do terceiro grau contam com dois incovenientes: o isolamento das ra´ızes e a dificuldade de trabalhar com sequˆencias de n´umeros complexos. Nesta perspectiva, obtemos uma f´ormula que relaciona as trˆes ra´ızes de uma equa¸c˜ao do terceiro grau, permitindo o c´alculo de todas as ra´ızes em termos de uma delas e facilitando o uso dos m´etodos num´ericos, sem a necessidade de isolar as ra´ızes ou trabalhar com sequˆencias de n´umeros complexos. Por fim, desenvolvemos um m´etodo para caracterizar as ra´ızes de uma equa¸c˜ao do terceiro grau, identificando quantas s˜ao reais e complexas n˜ao-reais